Équation polynômiale (4) - Corrigé

Énoncé

On note $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{C}$ par :  $P(z)=2z^3-(1+2i)z^2-(6+4i)z-(10+4i)$ .

1. Calculer $P({\displaystyle \frac{5}{2}}+i)$ .

2. En déduire une factorisation de $P$ .

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$ .

Solution

1. On a : ${({\displaystyle \frac{5}{2}}+i)}^2={\displaystyle \frac{21}{4}}+5i$   donc $(1+2i){({\displaystyle \frac{5}{2}}+i)}^2=-{\displaystyle \frac{19}{4}}+i{\displaystyle \frac{62}{4}}$

et ${({\displaystyle \frac{5}{2}}+i)}^3={\displaystyle \frac{65}{8}}+{\displaystyle \frac{142}{8}}i$

donc $2{({\displaystyle \frac{5}{2}}+i)}^3={\displaystyle \frac{65}{4}}+{\displaystyle \frac{142}{4}}i$

et  $({\displaystyle \frac{5}{2}}+i)(6+4i)=11+16i$

Finalement $P({\displaystyle \frac{5}{2}}+i)=0$ .

2. On trouve, pour tout $z\in \mathbb{C}$ ,  $P(z)=(z-({\displaystyle \frac{5}{2}}+i))(2z^2+4z+4)=(z-{\displaystyle \frac{5}{2}}-i)(2z^2+4z+4)$ .

3. Pour tout $z\in \mathbb{C}$ ,  $P(z)=0⟺(z-{\displaystyle \frac{5}{2}}-i)(2z^2+4z+4)=0⟺z-\frac{5}{2}-i=0\text{ ou }2z^2+4z+4=0$
On trouve $S=\{{\displaystyle \frac{5}{2}}+i;-1-i;-1+i\}$ .